В этом разделе мы знакомимся с уравнением состояния идеального газа.

Эксперименты показали, что при условиях не слишком отличающихся от нормальных (температура порядка сотен кельвинов, давление порядка одной атмосферы) свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа.

Пример. На примере водяного пара покажем, что при обычных условиях свойства реальных газов близки к свойствам идеального. По таблице Менделеева можно определить массу моля Н 2 0 :

Плотность воды в жидком состоянии

Отсюда можно найти объем одного моля воды:

Один моль любого вещества содержит одно и то же число молекул (число Авогадро):

Получаем отсюда объем V 1 , приходящийся на одну молекулу воды:

В конденсированном состоянии молекулы располагаются вплотную друг к другу, то есть в сущности V 1 есть объем молекулы воды, откуда следует оценка ее линейного размера (диаметра):

С другой стороны, известно, что объем V m одного моля любого газа при нормальных условиях равен

Поэтому на одну молекулу водяного пара приходится объем

Это значит, что газ можно нарезать мысленно на кубики с длиной ребра

и в каждом таком кубике окажется одна молекула. Иными словами, L - среднее расстояние между молекулами водяного пара. Мы видим, что L на порядок превосходит размер D молекулы. Аналогичные оценки получаются и для других газов, так что с хорошей точностью можно считать, что молекулы не взаимодействуют друг с другом, и при нормальных условиях газ идеален.

Как уже говорилось, уравнение состояния, имеющее вид, позволяет выразить один термодинамический параметр через два других. Конкретный вид этого уравнения зависит от того, какое вещество и в каком агрегатном состоянии рассматривается. Уравнение состояния идеального газа объединяет ряд экспериментально установленных частных газовых законов. Каждый из них описывает поведение газа при условии, что изменяются лишь два параметра.

1. Закон Бойля - Мариотта . Описывает процесс в идеальном газе при постоянной температуре.

Изотермический процесс - это термодинамический процесс, протекающий при постоянной температуре.

Закон Бойля - Мариотта гласит:

Для данной массы газа при постоянной температуре Т = const произведение давления газа на занимаемый им объем является постоянной величиной

Графически изотермический процесс в различных координатах изображен на рис. 1.7.

Рис.1.7. Изотермический процесс в идеальном газе: 1 - в координатах p – V ; 2 - в координатах p - T ; 3 - в координатах T – V

Показанные на рис. 1.7-1 кривые представляют собой гиперболы

располагающиеся тем выше, чем выше температура газа.

Экспериментальное исследование закона Бойля - Мариотта можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.8. В цилиндре, находящемся при постоянной температуре (что видно из показаний термометра), при перемещении поршня изменяется объем газа. Давление газа измеряется с помощью манометра. Результаты измерений давления и объема газа представляются на диаграмме p = p (V ) .

Рис. 1.8. Экспериментальное изучение изотермического процесса в газе

2. Закон Гей-Люссака. Описывает тепловое расширение идеального газа при постоянном давлении.

Закон Гей-Люссака гласит:

Объем данной массы определенного газа при постоянном давлении пропорционален его абсолютной температуре

Графически изобарный процесс в различных координатах показан на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Изобарный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах V – T; 3 - в координатах P – T

Экспериментальное изучение закона Гей-Люссака можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.10. В цилиндре газ нагревается с помощью горелки. Давление газа в процессе нагревания остается неизменным, что видно из показаний манометра. Температура газа измеряется с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме V = V(Т) .

Рис. 1.10. Экспериментальное изучение изобарного процесса в газе

3. Закон Шарля. Описывает изменение давления идеального газа с ростом температуры при постоянном объеме.

Изохорный процесс - это процесс, протекающий при постоянном объеме.

Закон Шарля гласит:

Давление данной массы определенного газа при постоянном объеме пропорционально термодинамической температуре

Графически изохорный процесс в различных координатах показан на рис. 1.11.

Рис.1.11. Изохорный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах p – T; 3 - в координатах V – T

Экспериментальное исследование закона Шарля можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.12. В цилиндре газ занимает постоянный объем (поршень неподвижен). При нагревании давление газа увеличивается, а при охлаждении уменьшается. Величина давления измеряется с помощью манометра, а температура газа - с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме p=p(Т) .

Рис. 1.12. Экспериментальное изучение изохорного процесса в газе

Если объединить рассмотренные частные газовые законы, то получим уравнение состояния идеального газа (для одного моля)

(1.5)

в которое входит универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль· К). При одних и тех же значениях объема и температуры системы давление газа пропорционально числу молей вещества

Поэтому для произвольной массы газа m уравнение состояния идеального газа (1.6) примет вид

(1.6)

Это уравнение называют уравнением Клапейрона - Менделеева.

Дополнительная информация:

http://www.plib.ru/library/book/14222.html - Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике, Наука, 1977 г. – стр. 162–166, - сводная таблица свойств всевозможных изопроцессов с идеальным газом;

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/08/gazovye_zakony_i_mehanicheskoe.htm - журнал Квант, 1990 г. № 8, стр. 73–76, Д. Александров, Газовые законы и механическое равновесие;

http://www.alleng.ru/d/phys/phys62.htm - Тульчинский М.Е. Качественные задачи по физике, Изд. Просвещение, 1972 г.; задачи № 489, 522, 551 на законы идеального газа;

http://marklv.narod.ru/mkt/str4.htm - школьный урок с картинками по модели идеального газа;

http://marklv.narod.ru/mkt/str7.htm - школьный урок с картинками по изопроцессам с идеальным газом.

Между параметрами состояния идеального газа существует связь, называемая уравнением состояния. Французский инженер Б. Клапейрон (1799–1864) обобщил экспериментальные газовые законы и установил связь между параметрами (уравнение Клапейрона ):

Русский ученый Д.И. Менделеев (1834–1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Согласно закону Авогадро , при одинаковых и моль любого газа занимает одинаковый молярный объем , поэтому Менделеев сделал вывод, что постоянная в правой части равенства будет одинакова для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается и называется универсальной газовой постоянной .

Числовое значение можно определить, подставив в формулу значения параметров при НУ . Согласно расчетам, .

Перейдем к произвольной массе газа . При тех же условиях она будет занимать объем . Тогда

Это уравнение является уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона – Менделеева ).

Введем постоянную , называемую постоянной Больцмана . Тогда

где концентрация молекул. Следовательно, из 7.4.2 следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул, а плотность обратно пропорциональна температуре.

В системе СИ давление измеряется в Паскалях . Кроме того, для измерения давления используется ряд величин:

Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта: .

Пример 7.4.1. В баллоне объемом находится гелий под давлением и при температуре . После того, как из баллона было взято гелия, температура в баллоне понизилась до . Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Решение:

Для начального состояния уравнение Менделеева – Клапейрона имеет вид:. Поскольку объем гелия в конечном состоянии будет таким же (ограничен объемом сосуда), то для конечного состояния . Из этих уравнений найдем массы: и .

Учитывая, что , получим .

Выразим искомое давление:

Ответ: .

Пример 7.4.2. Найти молярную массу воздуха, считая, что он состоит (по массе) из одной части кислорода и трех частей азота.

Решение:

Свойствами идеального газа могут обладать не только химически однородные газы, но и газовые смеси. Чтобы применить уравнение состояния для газовой смеси, ей необходимо приписать некоторую, хотя и лишенную химического смысла, молярную массу . Величину выбирают такой, чтобы она удовлетворяла уравнению состояния идеального газа, записанному для смеси: . Откуда давление смеси.

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для каждой из компонент смеси: и . Выразим парциальные давления газов, входящих в смесь: и . По закону Дальтона давление смеси газов равно сумме

их парциальных давлений: . Следовательно, .

Учитывая, что масса смеси , получим .

Искомая молярная масса смеси равна

Ответ: .

Пример 7.4.3. Плотность смеси азота и водорода при температуре и давлении равна . Найти концентрацию молекул азота и водорода в смеси.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа для смеси газов: . Учтем, что молярная масса смеси (см. пример 7.4.2), поскольку и , то .

Подставим значения молярной массы смеси в уравнение Клапейрона – Менделеева.

Тогда или (1), где – плотность смеси .

С другой стороны, давление смеси газов равно (2). Решая совместно (1) и (2), найдем (м -3) и (м -3).

Ответ: , .

7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Применим статистический метод для расчета давления газа на стенки сосуда, в котором он находится. Давление газа на любую стенку равно отношению силы, с которой молекулы газа действуют на эту стенку, к площади ее поверхности:

Пусть газ находится в сосуде кубической формы с ребром (рис. 7.5.1, а). Рассмотрим стенку, перпендикулярную оси Ox (рис. 7.5.1, б). Найдем силу, с которой на нее будет действовать одна молекула газа. Обозначим массу одной молекулы, скорость молекулы. Молекулы газа могут менять направление скорости только при ударе о стенки (считаем, что взаимные столкновения к этому не приводят). Изменение импульса молекулы при ударе равно . С другой стороны, изменение импульса молекулы равно импульсу силы, действующей на нее со стороны стенки. Обозначим силу, действующую на стенку сосуда со стороны молекулы . Тогда по третьему закону Ньютона сила, с которой стенка будет действовать на молекулу, равна . Следовательно, , где .

Давление, производимое газом на эту стенку:

где объем сосуда.

Так как давление газа на все стенки сосуда одинаково (закон Паскаля), то

С учетом того, что , (суммарная кинетическая энергия молекул газа),

Это уравнение называется основным уравнением МКТ : произведение давления идеального газа на его объем равно двум третьим величины кинетической энергии поступательного движения всех его молекул.

Глава 8. Статистические распределения

Берём формулу и подставляем в неё . Получаем:

p = nkT.

Вспомним теперь, что A , где ν - число молей газа:

pV = νRT. (3)

Соотношение (3) называется уравнением Менделеева - Клапейрона . Оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа - давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева - Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа .

Учитывая, что , где m - масса газа, получим другую форму уравнения Менделеева - Клапейрона:

Есть ещё один полезный вариант этого уравнения. Поделим обе части на V :

Но - плотность газа. Отсюда

В задачах по физике активно используются все три формы записи (3)-(5).

Изопроцессы

На протяжении этого раздела мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными . Иными словами, мы считаем, что:

m = const, то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;

µ = const, то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация - распад молекул на атомы).

Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.

Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением , объёмом и температурой . Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева - Клапейрона).

Термодинамический процесс

Термодинамический процесс (или просто процесс ) - это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров - давления, объёма и температуры.

Особый интерес представляют изопроцессы - термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: T = const.

2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: p = const.

3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: V = const.

Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля - Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.

Изотермический процесс

При изотермическом процессе температура газа постоянна. В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.

Установим связь между давлением p и объёмом V газа в изотермическом процессе. Пусть температура газа равна T . Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны p 1 ,V 1 ,T , а во втором - p 2 ,V 2 ,T . Эти значения связаны уравнением Менделеева - Клапейрона:

Как мы сказали с самого начала, масса газа m и его молярная масса µ предполагаются неизменными. Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части: p 1V 1 = p 2V 2.

Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным :

pV = const.

Данное утверждение называется законом Бойля - Мариотта . Записав закон Бойля - Мариотта в виде

p = ,

можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму . Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.

Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки - давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.

Как уже указывалось, состояние некоторой массы определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния .

Французский физик Б.Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

1) изотермического (изотерма 1-1¢),

2) изохорного (изохора 1¢-2).

В соответствии с законами Бойля-Мариотта (1.1) и Гей-Люссака (1.4) запишем:

Исключив из уравнений (1.5) и (1.6) p 1 " , получим

Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина остается постоянной, т.е.

. (1.7)
Выражение (1.7) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.

Русский ученый Д.И.Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (1.7) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинакова для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению

удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Менделеева-Клапейрона .

Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (1.8), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 =1,013×10 5 Па, Т 0 =273,15 К, V m =22,41×10 -3 м 3 /моль): R=8,31 Дж/(моль К).

От уравнения (1.8) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа. Если при некотором заданном давлении и температуре один моль газа занимает объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона-Менделеева для массы m газа

где - количество вещества.

Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана :

Исходя из этого, уравнение состояния (1.8) запишем в виде

где - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения

р=nkT (1.10)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропор-ционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта :

Основное уравнение молекулярно-кинетической

Теории идеальных газов

Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между ними пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис.50) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой Dt (рис. 50).

Число этих молекул равно nDSDt (n-концентрация молекул). Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина- в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6nDS Dt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс

Уравнение Менделеева Клапейрона берет свое начало от французского инженера Клапейрона Б. жившего с 1799 по 1864 годы. Так как у параметров состояния идеального газа есть связь, он соединил имеющиеся экспериментальные законы газов и выявил связь в параметрах.

pW/T = const

А Менделеев Д.И. наш русский ученый живший с 1834 по 1907 года, соединил его с законом Авогадро. Из данного закона следует что, если Р и Т одинаковы то моль какого бы ни было газа занимает равный молярный объем. Wm=22.4л. Из чего и следует вывод Менделеева - постоянное значение в правой части уравнения, одинаково для любого газа. Обозначение пишется как R, а называется - универсальная газовая постоянная.

Цифровое выражение R вычисляем путем подстановки. Уравнение Менделеева Клапейрона выглядит как:

PW = nRT

в нем:
Р - газовое давление, W - литровый объем, T - температура, измеряется в кельвинах, n - число молей, R - УГП.

К примеру: Кислород находится в емкости на 2,6 литра, под давлением 2,3атм и 26 градусах С. Неизвестно сколько в емкости содержится молей О 2 ?

По закону газа находим сколько молей n

n = PW/RT из чего: n = (2.3 атм*2,6л)/(0,0821 л*атм/моль*К*299К) = 0,24 моль О 2

Температуру нужно обязательно переводить в кельвины (273 0 С + 26 0 С) = 299К. Во избежание ошибок при решении уравнений, надо обращать внимание на величины в которых даются данные для уравнения Менделеева-Клапейрона Давление может быть в мм рт.столба - переводим в атмосферы (1 атм = 760мм р/с). Если же в паскалях при переводе в атмосферы, важно помнить что 101325 Па = 1атм.

Если производить расчеты где единицы измерения в м 3 и Па. Здесь нужно использовать R = 8,314 Дж/К*моль (постоянная газовая).

Рассмотрим на примере:
Дано: Объем Гелия 16,5 литров, температура - 78 0 С, давление 45,6атм. Какой будет его объем в нормальных условиях? Количество молей? Мы можем быстро выяснить сколько молей n в нем содержится, с помощью Уравнения Менделеева-Клапейрона, но как быть если забылось значение R. В нормальных условиях 1 моль (1атм и 273К) заполняет 22,4 литра. То есть

PW = nRT, из этого следует, R = PW/nT = (1атм*22,4л)/(1 моль*273К) = 0,082

Если сделать так, что бы R сократилась. Получим следующий вариант решения.
Начальные данные: Р 1 = 45,6атм, W 1 = 16.5л, Т 1 =351К.
Конечные данные: Р 2 = 1атм, W 2 = ?, Т 2 =273К.

Мы видим что уравнение ровно справедливо и для исходных и для конечных данных
P 1 W 1 = nRT 1
P 2 W 2 = nRT 2

Для того чтобы узнать объем газа, поделим значения в уравнении
P 1 W 1 /P 2 W 2 = T 1 /T 2 ,
вставим известные нам значения
W 2 = 45.6 * 16.5 * 273 / 351 = 585 литров

Значит в нормальных условиях объем гелия будет 585 литров. Делим 585 на молярный газовый объем в норм. условиях (22,4 л/*моль) получим сколько молей в гелии 585 / 22,4 = 26,1м.

Заметка: Если у Вас проблемы связанные с прокладкой коммуникаций бестраншейным способом, зайдите по ссылке - прокол под газопровод (http://www.prokolgnb.ru) и узнайте как их решить.