В более раннем материале был рассмотрен вопрос нахождения производной и были показаны её различные применения: вычисление углового коэффициента касательной к графику, решение задач на оптимизацию, исследование функций на монотонность и экстремумы. $\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits}$ $\newcommand{\ctg}{\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arctg}{\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits}$ $\newcommand{\arcctg}{\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits}$

Рисунок 1.

Так же была рассмотрена задача нахождения мгновенной скорости $v(t)$ с помощью производной по заранее известному пройденному пути, выражаемому функцией $s(t)$.

Рисунок 2.

Очень часто встречается и обратная задача, когда нужно найти путь $s(t)$, пройденный точкой за время $t$, зная скорость движения точки $v(t)$. Если вспомнить, мгновенная скорость $v(t)$ находится, как производная от функции пути $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Значит, чтобы решить обратную задачу, то есть вычислить путь, нужно найти функцию, производная которой будет равна функции скорости. Но мы-то знаем, что производная пути и есть скорость, то есть: $s’(t) = v(t)$. Скорость равна произведению ускорения на время: $v=at$. Нетрудно определить, что искомая функция пути будет иметь вид: $s(t) = \frac{at^2}{2}$. Но это не совсем полное решение. Полное решение будет иметь вид: $s(t)= \frac{at^2}{2}+C$, где $C$ – некоторая константа. Почему именно так, будет рассказано далее. А пока проверим правильность найденного решения: $s"(t)=\left(\frac{at^2}{2}+C\right)"=2\frac{at}{2}+0=at=v(t)$.

Стоит заметить, что нахождение пути по скорости является физическим смыслом первообразной.

Полученная функция $s(t)$ называется первообразной функции $v(t)$. Довольно интересное и необычное название, не правда ли. В нём кроется большой смысл, который объясняет суть данного понятия и ведёт к его пониманию. Можно заметить, что в нём заключены два слова «первый» и «образ». Они говорят сами за себя. То есть это та функция, которая является исходной для имеющейся у нас производной. А мы по этой производной ищем ту функцию, которая была в начале, была «первой», «первым образом», то есть первообразную. Её иногда также называют примитивной функцией или антипроизводной.

Как нам уже известно, процесс нахождения производной называется дифференцированием. А процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования. Верно и обратное утверждение.

Определение. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой равна этой функции $f(x)$ для всех $x$ из указанного интервала: $F’(x)=f(x)$.

У кого-то может возникнуть вопрос: откуда в определении взялись $F(x)$ и $f(x)$, если изначально речь шла о $s(t)$ и $v(t)$. Дело в том, что $s(t)$ и $v(t)$ – частные случаи обозначения функций, имеющие в данном случае конкретный смысл, то есть это функция времени и функция скорости соответственно. То же самое и с переменной $t$ – она обозначает время. А $f$ и $x$ – традиционный вариант общего обозначения функции и переменной соответственно. Стоит обратить особое внимание на обозначение первообразной $F(x)$. Во-первых, $F$ – заглавная. Первообразные обозначаются заглавными буквами. Во-вторых, буквы совпадают: $F$ и $f$. То есть, для функции $g(x)$ первообразная будет обозначаться $G(x)$, для $z(x)$ – $Z(x)$. Вне зависимости от обозначений правила нахождения первообразной функции всегда одинаковы.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать, что функция $F(x)=\frac{1}{5}\sin5x$ является первообразной функции $f(x)=\cos5x$.

Для доказательства воспользуемся определением, а точнее тем фактом, что $F’(x)=f(x)$, и найдём производную функции $F(x)$: $F’(x)=(\frac{1}{5} \sin5x)’=\frac{1}{5}\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Значит $F(x)=\frac{1}{5} \sin5x$ является первообразной $f(x)=\cos5x$. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти, каким функциям соответствуют следующие первообразные: а) $F(z)=\tg z$; б) $G(l) = \sin l$.

Чтобы найти искомые функции, вычислим их производные:
а) $F’(z)=(\tg z)’=\frac{1}{\cos^2 z}$;
б) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

Пример 3. Какой будет первообразная для $f(x)=0$?
Воспользуемся определением. Подумаем, какая функция может иметь производную, равную $0$. Вспоминая таблицу производных, получаем, что любая постоянная будет иметь такую производную. Получаем, что искомая нами первообразная: $F(x)= C$.

Полученное решение можно объяснить геометрически и физически. Геометрически оно означает, что касательная к графику $y=F(x)$ горизонтальна в каждой точке этого графика и, значит, совпадает с осью $Ox$. Физически объясняется тем, что точка, имеющая скорость, равную нулю, остаётся на месте, то есть пройденный ею путь неизменен. Исходя из этого можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. (Признак постоянства функций ). Если на некотором промежутке $F’(x) = 0$, то функция $F(x)$ на этом промежутке постоянна.

Пример 4. Определить, первообразными каких функций являются функции а) $F_1 = \frac{x^7}{7}$; б) $F_2 = \frac{x^7}{7} – 3$; в) $F_3 = \frac{x^7}{7} + 9$; г) $F_4 = \frac{x^7}{7} + a$, где $a$ – некоторое число.
Используя определение первообразной, делаем вывод, что для решения этого задания нам нужно вычислить производные данных нам первообразных функций. При вычислении помним о том, что производная постоянной, то есть любого числа, равна нулю.
а) $F_1 =(\frac{x^7}{7})"= 7 \cdot \frac{x^6}{7} = x^6$;
б) $F_2 =\left(\frac{x^7}{7} – 3\right)"=7 \cdot \frac{x^6}{7}= x^6$;
в) $F_3 =(\frac{x^7}{7} + 9)’= x^6$;
г) $F_4 =(\frac{x^7}{7} + a)’ = x^6$.

Что мы видим? Несколько разных функций являются первообразными одной и той же функции. Это говорит о том, что у любой функции существует бесконечно много первообразных, и они имеют вид $F(x) + C$, где $C$ – произвольная константа. То есть операция интегрирования является многозначной в отличие от операции дифференцирования. Сформулируем на основании этого теорему, описывающую основное свойство первообразных.

Теорема. (Основное свойство первообразных ). Пусть функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f(x)$ на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: $F_2=F_1+C$, где $C$ – некоторая константа.

Факт наличия бесконечного множества первообразных можно интерпретировать геометрически. С помощью параллельного переноса вдоль оси $Oy$ можно получить друг из друга графики двух любых первообразных для $f(x)$. В этом заключается геометрический смысл первообразной.

Очень важно обратить внимание на то, что выбором константы $C$ можно добиться прохождения графика первообразной через определённую точку.

Рисунок 3.

Пример 5. Найти первообразную для функции $f(x)=\frac{x^2}{3}+1$, график которой проходит через точку $(3; 1)$.
Найдём сначала все первообразные для $f(x)$: $F(x)=\frac{x^3}{9}+x + C$.
Далее найдём такое число C, при котором график $y=\frac{x^3}{9}+x + C$ будет проходит через точку $(3; 1)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение графика и решим его относительно $C$:
$1= \frac{3^3}{9}+3 + C$, $C=-5$.
Получили график $y=\frac{x^3}{9}+x-5$, который соответствует первообразной $F(x)=\frac{x^3}{9}+x-5$.

Таблица первообразных

Таблицу формул для нахождения первообразных можно составить, используя формулы нахождения производных.

Таблица первобразных

Функции	Первообразные
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\sin^2 x}$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} +C$
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac{1}{1+x^2}$	$\arcctg x+C$

Проверить правильность составления таблицы можно следующим образом: для каждого множества первообразных, находящегося в правом столбце найти производную, в результате чего получатся соответствующие функции, стоящие в левом столбце.

Некоторые правила нахождения первообразных

Как известно, многие функции имеют более сложный вид, нежели указанные в таблице первообразных, и могут представлять собой любое произвольное сочетание сумм и произведений функций из этой таблицы. И тут возникает вопрос, как вычислять первообразные подобных функций. К примеру, из таблицы мы знаем, как вычислить первообразные $x^3$, $\sin x$ и $10$. А как, например, вычислить первообразную $x^3-10\sin x$? Забегая вперёд, стоит отметить, что она будет равна $\frac{x^4}{4}+10\cos x$.
1. Если $F(x)$ первообразная для $f(x)$, $G(x)$ – для $g(x)$, то для $f(x)+g(x)$ первообразная будет равна $F(x)+G(x)$.
2. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ и $a$ – константа, то для $af(x)$ первообразной будет $aF(x)$.
3. Если для $f(x)$ первообразной является $F(x)$, $a$ и $b$ – константы, то $\frac{1}{a} F(ax+b)$ первообразная для $f(ax+b)$.
Используя полученные правила мы можем расширить таблицу первообразных.

Функции	Первообразные
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac{(ax+b)^n}{a(n+1)} +C$
$\displaystyle \frac{1}{ax+b}, a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$
$e^{ax+b}, a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a} e^{ax+b}+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac{1}{a}\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac{1}{a}\sin(ax+b)+C$

Пример 5. Найти первообразные для:

а) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

б) $\displaystyle \frac{6}{x^5} -\frac{2}{x}$;

в) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

г) $\displaystyle \sqrt{x}-2\sqrt{x}$.

а) $4\frac {x^{3+1}}{3+1}+10\frac{x^{7+1}}{7+1}+C=x^4+\frac{5}{4} x^8+C$;

б) $-\frac{3}{2x^4} -2\ln|x|+C$;

в) $5 \sin x - \frac{1}{3}\cos(3x + 15) + C$;

г) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{3}{2} x\sqrt{x} + C$.

Научиться интегрированию не сложно. Для этого необходимо лишь усвоить определенный, достаточно небольшой, набор правил и разработать у себя своего рода чутье. Выучить правила и формулы, конечно же, легко, но понять, где и когда нужно применить то или иное правило интегрирования или дифференцирования, достаточно затруднительно. В этом, собственно, и состоит умение интегрировать.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Предполагается, что к моменту чтения этой статьи читатель уже обладает некими навыками дифференцирования (т.е. нахождения производных).

Определение 1.1: Функция называется первообразной функции если выполняется равенство:

Комментарии: > Ударение в слове “первообразная” можно ставить двумя способами: первоо бразная или первообра зная.

Свойство 1: Если функция является первообразной функции , то функция также является первообразной функции .

Доказательство: Докажем это из определения первообразной. Найдем производную функции :

Первое слагаемое по определению 1.1 равно , а второе слагаемое является производной константы, которая равна 0.

.

Подведем итог. Запишем начало и конец цепочки равенств:

Таким образом, производная функции равна , а значит, по определению, является её первообразной. Свойство доказано.

Определение 1.2: Неопределенным интегралом функции называется всё множество первообразных этой функции. Это обозначается так:

.

Рассмотрим названия каждой части записи подробно:

— общее обозначение интеграла,

— подинтегральное (подынтегральное) выражение, интегрируемая функция.

— дифференциал, и выражение после буквы , в данном случае это , будем называть переменной интегрирования.

Комментарии: Ключевые слова в этом определении – “все множество”. Т.е. если в будущем в ответе не будет записано это самое «плюс С», то проверяющий имеет полное право не зачесть это задание, т.к. необходимо найти все множество первообразных, а если С отсутствует, то найдена только одна.

Вывод: Для того, чтобы проверить правильно ли вычислен интеграл, необходимо найти от результата производную. Она должна совпасть с подынтегральным выражением.
Пример:
Задание: Вычислить неопределенный интеграл и выполнить проверку.

Решение:

То, как вычислен этот интеграл, в данном случае не имеет никакого значения. Предположим, что это откровение свыше. Наша задача – показать, что откровение нас не обмануло, а сделать это можно с помощью проверки.

Проверка:

При дифференцировании результата получили подынтегральное выражение, значит, интеграл вычислен верно.

2. Начало. Таблица интегралов.

Для интегрирования не нужно каждый раз вспоминать функцию, производная которой равна данной подынтегральной функции (т.е. использовать непосредственно определение интеграла). В каждом сборнике задач или учебнике по математическому анализу приведена список свойств интегралов и таблица простейших интегралов.

Перечислим свойства.

Свойства:
1.
Интеграл от дифференциала равен переменной интегрирования.
2. , где — константа.
Множитель-константу можно выносить за знак интеграла.

3.
Интеграл суммы равен сумме интегралов (если количество слагаемых конечно).
Таблица интегралов:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Чаще всего задача состоит в том, чтобы с помощью свойств и формул свести исследуемый интеграл к табличному.

Пример:

[ Воспользуемся третьим свойством интегралов и запишем в виде суммы трех интегралов.]

[ Воспользуемся вторым свойством и вынесем константы за знак интегрирования.]

[ В первом интеграле воспользуемся табличным интегралом №1 (n=2), во втором – той же формулой, но n=1, а для третьего интеграла можно или воспользоваться все тем же табличным интегралом, но с n=0, или первым свойством.]
.
Проверим дифференцированием:

Получено исходное подынтегральное выражение, следовательно, интегрирование выполнено без ошибок (и даже не забыто прибавление произвольной константы С).

Табличные интегралы необходимо выучить наизусть по одной простой причине – дабы знать, к чему стремиться, т.е. знать цель преобразования данного выражения.

Приведем еще несколько примеров:
1)
2)
3)

Задачи для самостоятельного решения:

Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл:

+ Показать/спрятать подсказку №1.

1) Воспользоваться третьим свойством и представить этот интеграл как сумму трех интегралов.

+ Показать/спрятать подсказку №2.

+ Показать/спрятать подсказку №3.

3) Для первых двух слагаемых воспользоваться первым табличным интегралом, а для третьего – вторым табличным.

+ Показать/спрятать Решение и Ответ.

4) Решение:

Ответ:

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Факт 1. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, а именно, восстановление функции по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ).

Определение 1. Функция F (x f (x ) на некотором промежутке X , если для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство F "(x )=f (x ), то есть данная функция f (x ) является производной от первообразной функции F (x ). .

Например, функция F (x ) = sin x является первообразной для функции f (x ) = cos x на всей числовой прямой, так как при любом значении икса (sin x )" = (cos x ) .

Определение 2. Неопределённым интегралом функции f (x ) называется совокупность всех её первообразных . При этом употребляется запись

∫

f (x )dx

,

где знак ∫ называется знаком интеграла, функция f (x ) – подынтегральной функцией, а f (x )dx – подынтегральным выражением.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная для f (x ) , то

∫

f (x )dx = F (x ) +C

где C - произвольная постоянная (константа).

Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия. Пусть есть дверь (традиционная деревянная дверь). Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Из дерева. Значит, множеством первообразных подынтегральной функции "быть дверью", то есть её неопределённым интегралом, является функция "быть деревом + С", где С - константа, которая в данном контексте может обозначать, например, породу дерева. Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную .

Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных ("быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.) аналогична таблице основных неопределённых интегралов, которая будет приведена чуть ниже. В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов. В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы.

Факт 2. Восстанавливая функцию как первообразную, мы должны учитывать произвольную постоянную (константу) C , а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, нужно записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: 5x ³+С . Итак, произвольная постоянная (константа) входит в выражение первообразной, поскольку первообразная может быть функцией, например, 5x ³+4 или 5x ³+3 и при дифференцировании 4 или 3, или любая другая константа обращаются в нуль.

Поставим задачу интегрирования: для данной функции f (x ) найти такую функцию F (x ), производная которой равна f (x ).

Пример 1. Найти множество первообразных функции

Решение. Для данной функции первообразной является функция

Функция F (x ) называется первообразной для функции f (x ), если производная F (x ) равна f (x ), или, что одно и то же, дифференциал F (x ) равен f (x ) dx , т.е.

(2)

Следовательно, функция - первообразная для функции . Однако она не является единственной первообразной для . Ими служат также функции

где С – произвольная постоянная. В этом можно убедиться дифференцированием.

Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема (формальное изложение факта 2). Если F (x ) – первообразная для функции f (x ) на некотором промежутке Х , то любая другая первообразная для f (x ) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x ) + C , где С – произвольная постоянная.

В следующем примере уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте.

Пример 2. Найти множества первообразных функций:

Решение. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции. При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше.

1) Применяя формулу (7) из таблицы интегралов при n = 3, получим

2) Используя формулу (10) из таблицы интегралов при n = 1/3, имеем

3) Так как

то по формуле (7) при n = -1/4 найдём

Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx . Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. Например,

, ;

здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z .

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции.

Геометрический смысл неопределённого интеграла

Пусть требуется найти кривую y=F(x) и мы уже знаем,что тангенс угла наклона касательной в каждой её точке есть заданная функция f(x) абсциссы этой точки.

Согласно геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой y=F(x) равен значению производной F"(x) . Значит, нужно найти такую функцию F(x) , для которой F"(x)=f(x) . Требуемая в задаче функция F(x) является первообразной от f(x) . Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. y=F(x) - одна из таких кривых, а всякая другая кривая может быть получена из неё параллельным переносом вдоль оси Oy .

Назовём график первообразной функции от f(x) интегральной кривой. Если F"(x)=f(x) , то график функции y=F(x) есть интегральная кривая.

Факт 3. Неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже. Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной (константой) интегрирования C .

Свойства неопределённого интеграла

Факт 4. Теорема 1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.

Факт 5. Теорема 2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции f (x ) равен функции f (x ) с точностью до постоянного слагаемого , т.е.

(3)

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями.

Факт 6. Теорема 3. Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределённого интеграла , т.е.

В школе у многих не получается решить интегралы или возникают какие-либо трудности с ними. Данная статья поможет вам в этом разобраться, так как в ней вы найдете все таблицы интегралов .

Интеграл является одним из главных вычислений и понятием в математическом анализе. Его появление получилось от двух целей:
Первая цель - восстановить функцию с помощью ее производной.
Вторая цель - вычисление площади, находящейся на расстоянии от графика к функции f(x) на прямой где, а больше или равна х больше или равен b и ось абсцисс.

Данные цели подводят нас к определенным и неопределенным интегралам. Связь между данными интегралами лежит в поиске свойств и вычислении. Но все течет и все меняется со временем, находились новые пути решения, выявлялись дополнения тем самым приводя определенные и неопределенные интегралы к иным формам интегрирования.

Что такое неопределенный интеграл спросите Вы. Это первообразная функция F(x) одной переменной x в интервале а больше х больше b. называется любой функцией F(x), в данном интервале для любого обозначения х, производная равняется F(x). Понятно что F(x) первообразная для f(x) в промежутке а больше х больше b. Значит F1(x) = F(x) + C. С -является любым постоянным и первообразным для f(x) в данном интервале. Данное утверждение обратимо, для функции f(x) - 2 первообразные отличаются только постоянной. Опираясь на теорему интегрального исчисления получается, что каждая непрерывная в интервале a

Определенный интеграл понимается как предел в интегральных суммах, или в ситуации заданной функции f(x) определенной на некоторой прямой (а,b) имея на нем первообразную F, означающую разность ее выражений в концах данной прямой F(b) - F(a).

Для наглядности изучения данной темы, предлагаю посмотреть видео. В нем подробно рассказывается и показывается как находить интегралы.

Каждая таблица интегралов сама по себе очень полезна, так как помогает в решении конкретного вида интегралов.

Все возможные виды канцтоваров и не только. Вы можете приобрести через интернет-магазин v-kant.ru. Либо просто перейдите по ссылке Канцтовары Самара (http://v-kant.ru) качество и цены Вас приятно удивят.