Конспект урока по математике по теме «Степенная функция, её свойства и график»

Преподаватель математики ГБПОУ МО «СТТ»

Голубева Наталья Борисовна

Дата урока

Формирование языковой, коммуникативной и информационных общих компетенций.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с учителем, товарищами.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи личностного развития, заниматься самообразованием.

Структура урока

1. Организационный этап (1 мин)

Заполнение журнала, отметка присутствующих на уроке, проверка готовности учащихся к уроку.

Ход урока

2. Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний 5 мин

Повторение основных понятий.

1. Область определения. (значения, которые может принимать переменная х.) 2. Область значений (множество значений). (множество значений, которые может принимать переменная у.) 3. Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции. (график четной функции симметричен относительно оси ОУ. график нечетной функции симметричен относительно начала координат, т.е точки О) Аналитическая запись свойства четности, нечетности. ( - нечетная функция - четная функция) 4. Промежутки возрастания и убывания функции.

3. Этап усвоения новых знаний 14 мин

Сегодня на уроке мы повторим и систематизируем наши знания по теме «Степенная функция». Слайд 3. С седьмого класса мы изучили множество функций, графики которых вы видите на слайде.

Что объединяет все эти функции?

Все эти функции являются частными случаями степенной функции.

Дадим определение степенной функции.

у = х р , где р – заданное действительное число.

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р .

Сейчас каждый из вас будет оформлять опорный конспект по теме «Степенная функция». Заполнив этот конспект, вам будет удобно использовать его при подготовке к уроку. В опорном конспекте уже даны эскизы графиков. Ваша задача: сформулировать свойства функций и сделать записи в конспекте.

Слайды 5-17 . Фронтальная работа с классом. Оформление записей в «Опорный конспект» (приложение 1). Перечисляем свойства функций по следующему плану.

Область определения.

Область значений (множество значений).

Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции. Аналитическая запись свойства четности, нечетности.

Записываем промежутки возрастания и убывания функции.

Во время фронтальной работы обращаю внимание на возможные варианты записи ответов в виде промежутков или неравенств. На слайдах 6, 8, 10, 12, 14, 15 демонстрирую, как изменяется вид графика при изменении показателя степени р.

4. Этап закрепления новых знаний 10 мин

Закрепление изученного материала. Решение упражнений из учебника.

Мы вспомнили функции, которые нам знакомы, и увидели новые графики. Проверим, как вы усвоили новый материал. Проведем тест соответствия.

На партах у учащихся лежат набор карточек с формулами функций (приложение 3). Эскизы графиков воспроизводятся с помощью презентации. К доске приглашается по очереди 7 учащихся, которые должны привести в соответствие эскизы графиков и карточки с формулой, комментируя свой выбор. Ученик с помощью магнитов закрепляет таблички с формулами рядом с соответствующим номером графика.

Набор формул для учащихся.

у=х -0,4

Работа с учебником. № 125 (1, 3)
Доп № 126 (1).

5. Самостоятельная работа – тест соответствия «Степенная функция». 10 мин

Самостоятельная работа проводится в виде тестирования на ноутбуках. Работа идет парами. Учащиеся садятся за ноутбук вдвоем, открывают тест, записывают фамилии и проходят тест. Результат теста фиксируется в текстовом документе, после урока копируется и прикладывается к разработке урока.

степенная функция.mtf

Тест "Степенная функция"

Задание #1

Вопрос:

Заключительная часть

6. Этап подведения итогов урока 3 мин

Подведение итогов урока, выставление оценок

7.Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению 2 мин

По опорному конспекту – выучить свойства и графики. № 125(2,4), 128 .

Обобщающий урок по алгебре в 10 классе

Тема урока . Степенная функция.

Цели урока :

1) Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся

по теме «Степенная функция».

2) Закреплять знания о степенной функции и ее свойствах, навыки применения свойств степени и корня, навыки решения иррациональных уравнений.

3) Развивать у учащихся мышление, внимание, аккуратность.

4) Воспитывать у учащихся любовь к математике.

Тип урока : обобщение знаний.

Ход урока.

Сообщение темы и цели урока. Запись даты в тетрадь.

Функция и ее свойства.

Вопрос учителя: Какая функция называется степенной?

(Функция вида , где p -заданное действительное число, называется степенной функцией.)

2) Даны эскизы функций. Какой график соответствует предложенной формуле. (Графики показаны на экране, формулы появляются на экране одна за другой)

Указать область определения и область значения функции.

Вопросы.

а) Какая функция «лишняя»?

б) Назовите четную функцию. Назовите нечетную функцию. Как определяем?

Самостоятельная работа учащихся.

Указать, какой формуле соответствует график функции: написать формулу, а рядом указать номер функции.

В
ариант 1

1)
2)
3)
4)
5)

Вариант 2

1)
2)
3)
4)
5)

Учащиеся сдают свои работы. Проверка ответов с экрана.

3. Степень и ее свойства.

1) Повторение свойств степени. (Свойства по одному появляются на экране, учащиеся формулируют их).

Свойства степени.

Для любых положительных a и b и любых рациональных m и n верны равенства:

2) Упростить выражения. Учитель диктует пример, учащиеся записывают его и решают с комментированием.

3)Проверка решений с экрана.

Проверь решения примеров:

1.

2.

3.

4.

4) Задание учащимся: найти ошибку в решении. (На экране появляются задания по одному, учащиеся объясняют ошибки в решении. В последнем примере ошибки нет).

Найдите ошибку в решении:

Дайте определение арифметического корня n -й степени.

Какие числа называются неотрицательными?

Повторение свойств корней. На экране формулы:

Если a ≥0, b >0 ,m и n -натуральные числа, причем m ≥2, n ≥2 ,то

Вопросы.

Чему равен корень n -й степени из произведения?

Чему равен корень n -й степени из дроби?

Обратите внимание на формулы №6 и №7, они применяются при решении иррациональных уравнений.

Выполнение задания: упростить выражение (на экране примеры). Задание 1 и 2 решают учащиеся на доске с объяснением, задания 3 и 4 устно объясняют и решают самостоятельно с последующей проверкой с экрана.

Упростить выражения:

.

5.Решение иррациональных уравнений .

1) Какое уравнение называется иррациональным? Помним при решении уравнений ключевые слова: « уравнение – проверка!»

6. Задание на дом:

самостоятельная работа по индивидуальным карточкам.

7.Подведение итога урока.

Урок и презентация на тему: "Степенные функции. Свойства. Графики"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Степенные функции, область определения.

Ребята, на прошлом уроке мы узнали, как работать с числами с рациональным показателем степени. На этом уроке мы рассмотрим степенные функции и ограничимся случаем, когда показатель степени рациональный.
Мы будем рассматривать функции вида: $y=x^{\frac{m}{n}}$.
Рассмотрим сначала функции, у которых показатель степени $\frac{m}{n}>1$.
Пусть нам дана конкретная функция $y=x^2*5$.
Согласно определению, которое мы дали на прошлом уроке: если $x≥0$, то есть область определения нашей функции - это луч ${x}$. Давайте схематично изобразим наш график функции.

Свойства функции $y=x^{\frac{m}{n}}$, $0 2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на $$,
б) $(2,10)$,
в) на луче $$.
Решение.
Ребята, вы помните как мы находили наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке в 10 классе?
Правильно, мы использовали производную. Давайте решим наш пример и повторим алгоритм поиска наименьшего и наибольшего значения.
1. Найдем производную заданной функции:
$y"=\frac{16}{5}*\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}-x^3=8x^{\frac{3}{2}}-x^3=8\sqrt{x^3}-x^3$.
2. Производная существует на всей области определения исходной функции, тогда критических точек нет. Найдем стационарные точки:
$y"=8\sqrt{x^3}-x^3=0$.
$8*\sqrt{x^3}=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ и $x_2=\sqrt{64}=4$.
Заданному отрезку принадлежит только одно решение $x_2=4$.
Построим таблицу значений нашей функции на концах отрезка и в точке экстремума:
Ответ: $y_{наим.}=-862,65$ при $x=9$; $y_{наиб.}=38,4$ при $x=4$.

Пример. Решить уравнение: $x^{\frac{4}{3}}=24-x$.
Решение. График функции $y=x^{\frac{4}{3}}$ возрастает, а график функции $у=24-х$ убывает. Ребята, мы с вами знаем: если одна функция возрастает, а другая убывает, то они пересекаются только в одной точке, то есть у нас только одно решение.
Заметим:
$8^{\frac{4}{3}}=\sqrt{8^4}=(\sqrt{8})^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
То есть при $х=8$ мы получили верное равенство $16=16$, это и есть решение нашего уравнения.
Ответ: $х=8$.

Пример.
Построить график функции: $y=(x-3)^\frac{3}{4}+2$.
Решение.
График нашей функции получается из графика функции $y=x^{\frac{3}{4}}$, смещением его на 3 единицы вправо и 2 единицы вверх.

Пример. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{4}{5}}$ в точке $х=1$.
Решение. Уравнение касательной определяется известной нам формулой:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
В нашем случае $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^{-\frac{4}{5}}=1$.
Найдем производную:
$y"=-\frac{4}{5}x^{-\frac{9}{5}}$.
Вычислим:
$f"(a)=-\frac{4}{5}*1^{-\frac{9}{5}}=-\frac{4}{5}$.
Найдем уравнение касательной:
$y=1-\frac{4}{5}(x-1)=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.
Ответ: $y=-\frac{4}{5}x+1\frac{4}{5}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^\frac{4}{3}$ на отрезке:
а) $$.
б) $(4,50)$.
в) на луче $$.
3. Решить уравнение: $x^{\frac{1}{4}}=18-x$.
4. Построить график функции: $y=(x+1)^{\frac{3}{2}}-1$.
5. Составить уравнение касательной к прямой $y=x^{-\frac{3}{7}}$ в точке $х=1$.