Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
• Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
• Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то

a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции),

d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то

(a + b ) : b = (c + d ) : d (увеличение пропорции),

(a – b ) : b = (c – d ) : d (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то

(a + с ) : (b + d ) = a : b = c : d (составление пропорции сложением),

(a – с ) : (b – d ) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).

2. решите уравнение:

2. 850*6=5100км пролетит самолет за 6 часов
850+150=1000км/ч скорость другого самолета
5100:1000=5,1ч время за которое пролетит другой самолет это же расстояние

1. Проценты. Правила

Найдем 20% от 300: 1-ый способ: 20% от 300 = 300: 100 20 = 60 ; 2-ой способ: 20% от 300 = 0,20 300 = 60 . Задача №1: В классе 25 учеников, 40% (сорок процентов) из них девочки. Сколько девочек в классе? Решение: 25: 100 40 = 10 девочек ; или 25 0,40 = 10 девочек ; О т в е т: в классе 10 девочек. Задача №2: В саду растет 5 кустов желтых роз. Это составляет 25% от всех роз в саду. Сколько кустов роз в саду? Решение: 5: 25 100 = 20 кустов роз; или 5: 0,25 = 20 кустов роз; О т в е т: в саду растет 20 кустов роз. Задача №3: На стоянке стоит 40 машин, 8 из них фирмы Рено. Какой процент машин фирмы Рено от всех стоящих на стоянке? Решение: 8: 40 100 = 20 % . О т в е т: на стоянке 20% машин фирмы Рено.

1) Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

2) Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

2. а)Запишите в виде десятичной дроби: 1%; 6%; 2,5%;

§3. Перевод процентов в десятичную дробь и наоборот

Проценты - это математическое понятие , которое, очень часто встречается в повседневной жизни.

Область применения процентов широка: в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это сотая доля целого (принимаемого за единицу). Поэтому действия с процентами сводятся к действиям с десятичными дробями .

Давайте рассмотрим несколько заданий, связанных с процентами.

Задание первое: выразить 19% в виде десятичной дроби.

Как Вы уже знаете, по определению, 1% – это сотая часть числа, значит 19% – это 19 сотых этого же самого числа.

Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно убрать знак % и разделить число процентов на 100.

Например:

2% = 2 ÷ 100, получится 0,02.

58% = 58 ÷ 100 = 0,58.

А теперь обратная задача, как перевести десятичную дробь в проценты?

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Например:

0,17 = 0,17 × 100 = 17 %

А как быть с обыкновенными дробями?

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь.

Например:

Как вы поняли, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями.

Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов.

Запишите в процентах десятичные дроби: 0,87; 0,07; 1,45;

1. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Правила

Автомобиль за 2 ч проехал 180 км. За какое время автомобиль проедет вдвое большее расстояние, если будет двигаться с той же скоростью? Решение. Найдем вдвое большее расстояние: 180 2 = 360 км. Найдем скорость автомобиля: 180: 2 = 90 км/ч. Найдем время, требующееся на 360 км: 360: 90 = 4 ч. О т в е т: автомобилю потребуется вдвое большее время (4 часа) для прохождения вдвое большего расстояния. Говорят: "Время прямо пропорционально расстоянию". Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

2. а) на 20 км пути автомашина расходует 3 1/5 литра горючего. Сколько горючего автомашина израсходует на 50 км

если расход на 20 км 3,5 литра то

0,175*50=8,5 литра

если расход 3 целых одна пятая то

3целых1/5=3,2

0,16*50=8 литр

пропорцию-то составь 3 1/5 * 50 / 20 =

Б) Для Отопления здания заготовлено угля на 180 дней при норме расхода 0,6 т угля в день.На сколько дней хватит этого запаса,если его расходовать

ежедневно по 0,5 т?

Находим сколько тонн угля заготовлено

Находим на сколько дней хватит этого угля при расходе 0,5т в день

108/0,5=216 дней.

180*0,6=108 т. было заготовлено
108/0,5=216 дней
Ответ: 216 дней.

1. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты.

Масштаб 1: 100 000 значит, что в 1см карты умещается 100 000 см местности, или в одном сантиметре карты 1км местности.

2. а) 185 * 1000 * 100 * 10 = 185000000 мм между городами

185000000 / 5000000 = 37 мм на карте

В школе училась очень давно, но попробую вспомнить. Масштаб 1:5000000 подразумевает, что расстояние на карте в 1 см равно "в натуре" 5000000 см, то есть 50 км. Дальше просто: 185: 50 = 3,7, то есть 185 км соответствуют на карте отрезку в 3,7 см. Извините, если не права.

Б) Один отрезок на карте имеет длину 3,2 см, а на местности 1,6 км.Второй отрезок на местности имеет длину 2,8 км. Какую длину он будет иметь на этой

3.2/1.6=2 т. е отрезок на местностит в 2 раза меьше чем на карте

2.8*2=5.6 - отрезок на карте

Одна сотая часть любой величины или числа называется процентом.

Проценты обозначаются знаком %.

Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить число на 100

1% (один процент) = 1/100 = 0,01

5% = 5/100 = 0,05

20% = 20/100 = 0,2

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

0,4 = 0,4 * 100% = 40%

0,07 = 0,07 * 100% = 7%

Чтобы перевести обыкновенную дробь в проценты, нужно сначала превратить её в десятичную дробь.

2/5 = 0,4 = 0,4 * 100% = 40%

В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина - 50%, четверть - 25%, три четверти - 75%, одна пятая - 20%, а три пятых - 60%.

Для нахождения какой-либо доли от числа необходимо умножить величину этой доли на число.

Например, 1/5 доля числа 40 равна 1/5⋅40=8.

Рассмотрим на задаче НА ДОЛИ.

После того как Антошка съел половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Осталось найти, какую часть составляет 1/6 от 2/3.

1/6:2/3 = 1/6⋅3/2=1/4

Ответ. На одну четверть.

Еще задача НА ПРОЦЕНТЫ:

Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20 %, а другую уменьшили на 20 %. Как изменится площадь участка?

Пусть a и b - стороны исходного прямоугольника. Тогда новые стороны будут соответственно a + 20/100a = 6/5a и b− 20/100b = 4/5b. Поэтому новая площадь будет равна

6/5a⋅ 4/5b = 24/25ab = 96/100ab = ab − 4/100ab.

Ответ. Площадь уменьшилась на 4 %.

Учитель задал на лето отличнику Пете и двоечнику Васе задачи, причем Васе - в 4 раза больше задач, чем Пете. После каникул оказалось, что Петя и Вася решили поровну задач и процент задач, решенных Васей, равен проценту задач, не решенных Петей. Каков процент задач решенных Петей?

Решение задачи

Так как Вася и Петя решили поровну задач, а задали Васе в четыре раза больше, значит процент задач, решенных Петей в 4 раза больше, чем процент задач, решенных Васей. А вместе они составляют 100%, так как процент задач, решенных Васей равен проценту задач, НЕ решенных Петей. Значит Петя решил 80% задач, а Вася - 20%.

Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: "В лесу 99% сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен останется почти неизменным - сосен будет 98%". Какая часть деревьев будет вырублена? Ответ дайте в процентах.

Решение задачи

До вырубки "не сосны" составляли 1 процент от всех деревьев в лесу, а после вырубки - два процента. Пусть до вырубки в лесу было nn деревьев, а после вырубки k деревьев. Так как количество не сосен осталось прежним, 1/100⋅n = 2/100⋅k Отсюда k = n/2.

Процент это один из интересных и часто применяемых на практике инструментов. Проценты частично или полностью применяются в любой науке, на любой работе и даже в повседневном общении. Человек, который хорошо разбирающийся в процентах, создаёт впечатление умного и образованного. В данном уроке мы узнаем, что такое процент и какие действия можно с ним выполнять.

Содержание урока

Что такое процент?

В повседневной жизни дроби встречаются наиболее часто. Они даже получили свои названия: половина, треть и четверть соответственно.

Но есть ещё одна дробь, которая тоже встречается часто. Это дробь (одна сотая). Данная дробь получила название процент . А что означает дробь одна сотая ? Эта дробь означает, что чего-либо разделено на сто частей и оттуда взята одна часть. Значит процентом является одна сотая часть чего-либо.

Процентом называется одна сотая часть чего-либо

Например, от одного метра составляет 1 см. Один метр разделили на сто частей, и взяли одну часть (вспоминаем, что 1 метр это 100 см). А одна часть из этих ста частей составляет 1 см. Значит один процент от одного метра составляет 1 см.

От одного метра уже составляет 2 сантиметра. В этот раз один метр разделили на сто частей и взяли оттуда не одну, а две части. А две части из ста составляют два сантиметра. Значит два процента от одного метра составляет 2 сантиметра.

Еще пример, от одного рубля составляет одну копейку. Рубль разделили на сто частей, и взяли оттуда одну часть. А одна часть из этих ста частей составляет одну копейку. Значит один процент от одного рубля составляет одну копейку.

Проценты встречались настолько часто, что люди заменили дробь на специальный значок, который выглядит следующим образом:

Эта запись читается как «один процент». Она заменяет собой дробь . Также она заменяет собой десятичную дробь 0,01 потому что если перевести обычную дробь в десятичную дробь, то мы получим 0,01. Стало быть между этими тремя выражениями можно поставить знак равенства:

1% = = 0,01

Два процента в дробном виде будут записаны как , в виде десятичной дроби как 0,02 а с помощью специального значка два процента записывается как 2%.

2% = = 0,02

Как найти процент?

Принцип нахождения процента такой же, как и обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти процент от чего-либо, нужно это чего-либо разделить на 100 частей и полученное число умножить на нужный процент.

Например, найти 2% от 10 см.

Что означает запись 2% ? Запись 2% заменяет собой запись . Если перевести это задание на более понятый язык, то оно будет выглядеть следующим образом:

Найти от 10 см

А как решать подобные задания мы уже знаем. Это обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Итак, делим число 10 на знаменатель дроби

Получили 0,1. Теперь 0,1 умножаем на числитель дроби

0,1 × 2 = 0,2

Получили ответ 0,2. Значит 2% от 10 см составляет 0,2 см. А если , то получим 2 миллиметра:

0,2 см = 2 мм

Значит 2% от 10 см составляют 2 мм.

Пример 2. Найти 50% от 300 рублей.

Чтобы найти 50% от 300 рублей, нужно эти 300 рублей разделить на 100, и полученный результат умножить на 50.

Итак, делим 300 рублей 100

300: 100 = 3

Теперь полученный результат умножаем на 50

3 × 50 = 150 руб.

Значит 50% от 300 рублей составляет 150 рублей.

Если на первых порах сложно привыкнуть к записи со значком %, можно заменять эту запись на обычную дробную запись.

Например, те же 50% можно заменить на запись . Тогда задание будет выглядеть так: Найти от 300 рублей, а решать такие задачи для нас пока проще

300: 100 = 3

3 × 50 = 150

В принципе, ничего сложного здесь нет. Если возникают сложности, советуем остановиться и заново изучить и .

Пример 3. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Здесь нужно найти 32% от 1200. Найденное число будет ответом к задаче. Воспользуемся правилом нахождения процента. Разделим 1200 на 100 и полученный результат умножим на искомый процент, т.е. на 32

1200: 100 = 12

12 × 32 = 384

Ответ: 384 костюмов нового фасона выпустила фабрика.

Второй способ нахождения процента

Второй способ нахождения процента намного проще и удобнее. Он заключается в том, что число от которого ищется процент сразу умножит на нужный процент, выраженный в виде десятичной дроби.

Например, решим предыдущую задачу этим способом. Найти 50% от 300 рублей.

Запись 50% заменяет собой запись , а если перевести эти в десятичную дробь, то мы получим 0,5

Теперь для нахождения 50% от 300, достаточно будет умножить число 300 на десятичную дробь 0,5

300 × 0,5 = 150

Кстати, по этому же принципу работает механизм нахождения процента на калькуляторах. Чтобы найти процент с помощью калькулятора, нужно ввести в калькулятор число от которого ищется процент, затем нажать клавишу умножения и ввести искомый процент. Затем нажать клавишу процента %

Нахождения числа по его проценту

Зная процент от числа, можно узнать всё число. Например, предприятие выплатило нам 60000 рублей за работу, и это составляет 2% от общей прибыли, полученной предприятием. Зная свою долю, и сколько процентов она составляет, мы можем узнать общую прибыль.

Сначала нужно узнать сколько рублей составляет один процент. Как это сделать? Попробуйте догадаться внимательно изучив следующий рисунок:

Если два процента от общей прибыли составляют 60 тысяч рублей, то нетрудно догадаться, что один процент составляет 30 тысяч рублей. А чтобы получить эти 30 тысяч рублей, нужно 60 тысяч разделить на 2

60 000: 2 = 30 000

Мы нашли один процент от общей прибыли, т.е. . Если одна часть это 30 тысяч, то для определения ста частей, нужно 30 тысяч умножить на 100

30 000 × 100 = 3 000 000

Мы нашли общую прибыль. Она составляет три миллиона.

Попробуем сформировать правило нахождения числа по его проценту.

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент, и полученный результат умножить на 100.

Пример 2. Число 35 это 7% от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число.

Читаем первую часть правила:

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент

У нас известное число это 35, а данный процент это 7. Разделим 35 на 7

35: 7 = 5

Читаем вторую часть правила:

и полученный результат умножить на 100

У нас полученный результат это число 5. Умножим 5 на 100

5 × 100 = 500

500 это неизвестное число, которое требовалось найти. Можно сделать проверку. Для этого находим 7% от 500. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 35

500: 100 = 5

5 × 7 = 35

Получили 35. Значит задача была решена правильно.

Принцип нахождения числа по его проценту такой же, как и обычное нахождение целого числа по его дроби. Если проценты на первых порах смущают и сбивают с толку, то запись с процентом можно заменять на дробную запись.

Например, предыдущая задача может быть изложена так: число 35 это от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число. Как решать такие задачи мы уже знаем. Это нахождение числа по дроби. Для нахождения числа по дроби, мы это число делим на числитель дроби и полученный результат умножаем на знаменатель дроби. В нашем примере число 35 нужно разделить на 7 и полученный результат умножить на 100

35: 7 = 5

5 × 100 = 500

В будущем мы будем решать задачи на проценты, часть из которых будут сложными. Чтобы на первых порах не усложнять обучение, достаточно уметь находить процент от числа, и число по проценту.

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках