Рассмотрим примеры логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Для решения используем способ потенцирования. Неравенства >0 и >0 будут определять область допустимых значений уравнения. Неравенство >0 справедливо при любых значениях х, так как а 5х>0 только при положительных значения х. Значит ОДЗ уравнения — множество чисел от нуля до плюс бесконечности. Уравнение равносильно квадратному уравнению. Корни этого уравнения — числа 2 и 3,так как произведение этих чисел равно 6, а сума этих чисел равна 5 -противоположному значению коэффициента b? Оба этих числа лежат в промежутке, значит, они и есть корни этого уравнения. Заметим, что мы с лёгкостью решили данное уравнение.

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья)

Это уравнение отличается от предыдущего тем, что логарифмы имеют разные основания. И рассмотренный метод решения уравнения здесь использовать уже нельзя, хотя можно найти область допустимых значений и попробовать решить уравнение функционально графическим методом. Неравенства >0 и x >0определяют область допустимых значений уравнения, значит. Рассмотрим графическую иллюстрацию этого уравнения. Для этого построим по точкам график функции и. Мы можем утверждать, только что у данного уравнения есть единственный корень, он положительный, лежит на интервале от 1 до 2. Точное значение корня дать не возможно.

Конечно, данное уравнение не единственное, содержащее логарифмы с разными основаниями. Решить такие уравнения можно только с помощью перехода к новому основанию логарифма. Трудности, связанные с логарифмами разных оснований могут встретиться и в других типах заданий. Например, при сравнении чисел и.

Помощником в решении таких заданий является теорема

Теорема: Если a,b,c - положительные числа, причём а и с отличны от 1, то имеет место равенство

Эта формула называется - формула перехода к новому основанию)

Таким образом, из и больше. Так как по формуле перехода к новому основанию равен и равен

Докажем теорему о переходе к новому основанию логарифма.

Для доказательства введем обозначения =m , =n , =k (логарифм числа бэ по основанию а равен эм, логарифм числа бэ по основанию цэ равен эн, логарифм числа а по основанию цэ равен ка).Тогда по определению логарифма: число b есть а в степени m, число b есть с в степени n, число a есть с в степени k. Так то подставим её значение в при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получим, что =, но следовательно = , если основания степени равны, то равны и показатели данной степени=. Значит = вернемся к обратной замене: (логарифм числа бэ по основанию а равен отношению логарифма числа бэ по основанию цэ к логарифму числа а по основанию цэ)

Рассмотрим для данной теоремы два следствия.

Первое следствие. Пусть в данной теореме мы хотим перейти к основанию b. Тогда

(логарифм числа бэ по основанию бэ деленное на логарифм числа а по основанию бэ)

равен единице, то равен

Значит, если aи bположительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

Следствие 2. Если a и b - положительные числа, причем а не равное единице число, то для любого числа m , не равного нулю, справедливо равенство

логарифм b по основанию а равен логарифму b в степени m по основанию a в степени m .

Докажем данное равенство справа налево. Перейдем в выражении(логарифм числа бэ в степени эм по основанию а в степени эм)к логарифму с основанием а. По свойству логарифма показатель степени подлогарифмического выражения можно вынести вперёд - перед логарифмом. =1. Получим. (дробь, в числителе эм умноженное на логарифм числа бэ по основанию а в знаменателе эм)Число m не равно нулю по условию, значит, полученную дробь можно сократить на m. Получим. Что и требовалось доказать.

Значит, для перехода к новому основанию логарифма используются три формулы

Пример 2. Решить уравнение

(логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три равен логарифму икс по основанию одна третья )

Область допустимых значений мы нашли у данного уравнения ранее. Приведем к новому основанию 3. Для этого запишем в данный логарифм в виде дроби. В числителе будет логарифм х по основанию три, в знаменателе будет логарифм одной третьей по основанию три. равен минус одному, тогда правая часть уравнения будет равна минус

Перенесем в левую часть уравнения и запишем как. По свойству, сумма логарифмов равна логарифму произведения, значит (логарифм выражения десять икс минус девять по основанию три плюс логарифм икс по основанию три)можно записать как.(логарифм произведения десять икс минус девять и икс по основанию три) Выполним умножение, получим в левой части уравнения,

а в правой части — ноль запишем как, так как три в нулевой степени есть один.

Методом потенцирования получим квадратное уравнение =0. По свойству коэффициентов а+b+c=0 корни уравнения равны 1 и 0,1.

Но в области определения лежит только один корень. Это число один.

Пример 3. Вычислить. (три в степени четыре, умноженное на логарифм двух по основанию три плюс логарифм корня из двух по основанию пять умноженное на логарифм двадцати пяти по основанию четыре)

Для начала рассмотрим степень числа три. Если степени умножаются, то выполняется действие возведение степени в степень, таким образом, степень числа три можно записать как три в степени в четвёртой степени. Логарифмы в произведении с разным основанием, удобнее — логарифм с основанием четыре привести к основанию, связанному с пятью. Поэтому заменим на тождественно равное ему выражение. По формуле перехода к новому основанию.

По основному логарифмическому тождеству (а в степени логарифм числа бэ по основанию а равен числу бэ)

вместо получим В выражении выделим квадрат основания и подлогарифмического выражения. Получим. По формуле перехода к новому основанию, она записана справа от решения, получим вместо только. Квадратный корень из двух запишем как два в степени одна вторая и по свойству логарифма вынесем показатель степени перед логарифмом. Получим выражение. Таким образом, вычисляемое выражение примет вид…

При этом это 16, а произведение равно одному, значит значение выражения равно 16,5.

Пример 4. Вычислить, если lg2=a , lg3=b

Для вычисления воспользуемся свойствами логарифма и формулами перехода к новому основанию.

18 представим в виде произведения шести и трех. Логарифм произведения равен сумме логарифмов-множителей, то есть, где равен 1. Так как нам известны десятичные логарифмы, то перейдем от логарифма с основанием 6 к десятичному логарифму, получим дробь в числителе которой (десятичный логарифм трех) а в знаменателе (десятичный логарифм шести). При этом можно уже заменить на b. Разложим шесть на множители два и три. Полученное произведение запишем в виде суммы логарифмов lg2 и lg 3. Заменим их соответственно на aи b. Выражение примет вид: . Если данное выражение преобразовать в дробь путём приведения к общему знаменателю, то ответ получится

Для успешного выполнения заданий, связанных с переходом к новому основанию логарифма, необходимо знать формулы перехода к новому основанию логарифма

1. , где a,b,c-положительные числа, a , c
2. , где a,b-положительные числа, a , b
3. , где a,b-положительные числа a , m

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .

Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.

Логарифмы , примеры:

log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8

log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5

Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100

Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

• Основное логарифмическое тождество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логарифм произведения равен сумме логарифмов
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Логарифм частного равен разности логарифмов
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

  Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b

  Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  если m = n, получим log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Переход к новому основанию
  log a b = log c b/log c a,

  если c = b, получим log b b = 1

  тогда log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: " ". Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.

Виды логарифмов

• log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
• ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).

Как решать логарифмы?

Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:

Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.

• a log a b = b – основное логарифмическое тождество
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x · y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
• log a x = 1/log x a

Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения

• Для начала запишите необходимое уравнение.

Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.

Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.

Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).

Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.

Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

• производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится основных интегралов.
Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции.

Метод замены переменных

Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в . Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному.

Решение интегралов второго рода

Если интеграл является интегралом второго рода, векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля.

Подстановка пределов интегрирования

После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение.
Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем.