Функция f (x ) называется возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

Рисунок 1.3.5.1. Промежутки возрастания и убывания функции

На показанном на рисунке графике функция y = f (x ), возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ] и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков [a ; x 1) и (x 2 ; b ], но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f - монотонная функция на промежутке D (f (x )), то уравнение f (x ) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 - корни этого уравнения на промежутке D (f (x )), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D ).

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f a , что для любого x f (a ) ≥ f (x ).

Точка a называется точкой минимума функции f , если существует такая ε-окрестность точки a , что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a ) ≤ f (x ).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума .

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа - убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a ) выполняется неравенство f (x ) ≤ f (a ) то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D :

Точка наибольшего или наименьшего значения может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

График 1.3.5.1. Функция, ограниченная сверху

График 1.3.5.2. Функция, ограниченная снизу

График 1.3.5.3. Функция, ограниченная на множестве D .

Наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на [а,b].

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) < 0, то функция убывает в этом промежутке.

Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f ¤ (x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = - х 2 + 10х + 7

Найдем f ¤ (x). y¢ = -2х +10

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,

на промежутке функция возрастает, а на промежутке И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда.

возрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

Функция называется неубывающей

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1f(x_2)\) .

Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\) , если для любых \(x_1, x_2\in X\) , таких что \(x_1

\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными , а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными .

\(\blacktriangleright\) Основные свойства:

I. Если функция \(f(x)\) - строго монотонна на \(X\) , то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) следует \(f(x_1)=f(x_2)\) , и наоборот.

Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in \) , поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\) .

функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\) , поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.

III. Если функция \(f(x)\) - неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\) , причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\) , то при \(C\in \) (\(C\in \) ) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.

Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\) , поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\) .

Задание 1 #3153

Уровень задания: Легче ЕГЭ

имеет ровно два корня.

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\) . Тогда уравнение перепишется в виде: \ Исследуем функцию \(f(t)\) . \ Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\) . Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \ Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \

Ответ:

\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)

Задание 2 #2653

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при которых уравнение \

имеет два корня.

(Задача от подписчиков.)

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Тогда уравнение примет вид: \ Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Тогда наше уравнение примет вид: \

Найдем производную \ Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f"(w)>0\) , т.к. \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\) . Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\) .
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\) . Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\ Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Ответ:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Задание 3 #3921

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все положительные значения параметра \(a\) , при которых уравнение

имеет как минимум \(2\) решения.

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\) , влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\

Тогда исходное уравнение примет вид:
\

Найдем производную:
\

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\) , то \(f"(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Причем \(f"(t)=0\) , если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\) . Следовательно, \(f"(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\) .

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\) .

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\) .

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\) , а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\) .
Нам нужно найти значения \(a\) , при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\) .
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\) .

Ответ:

\((0;+\infty)\) .

Задание 4 #1232

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет единственное решение.

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\) ) и перепишем уравнение в виде: \

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\) ).

Производная \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\) .

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\) , то \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\) , где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\) . Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\) .

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\) , которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\) , которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\) .

Рассмотрим случай \(a\ne 0\) . Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\) . Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) , причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\) ).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\) .

Ответ:

\(a\in \mathbb{R}\) .

Задание 5 #1234

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \

имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\) .

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\) . Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\) .

Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\) , причем равна \(0\) только при \(x=a=1\) . Но при \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\) , не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\) .

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\) , необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\) .

Ответ:

\(a\in [-2;0]\) .

Задание 6 #2949

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]

имеет корни.

(Задача от подписчиков)

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \) . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \(\) . Рассмотрим окружность:

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\) . Найдем ее производную: \ На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\) , который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\) .
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\) . Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \ . При этих \(x\) :

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\) . Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) - значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\) . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0. Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

\\cup

Ответ:

\(a\in (-\infty;-1]\cup, ограничена на этом отрезке;

· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;

· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);

· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);

· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);

· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;

· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.

Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная =0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций

Определение возрастающей и убывающей функции

Пусть \(y = f\left(x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left({a,b} \right).\) Функция называется возрастающей (или неубывающей ) на данном интервале, если для любых точек \({x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right),\) таких, что \({x_1}
Если данное неравенство является строгим, т.е. \(f\left({{x_1}} \right) \lt f\left({{x_2}} \right),\) то говорят, что функция \(y = f\left(x \right)\) является строго возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right).\)

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая ) и строго убывающая функции.

Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция \(y = f\left(x \right)\) называется

• возрастающей (неубывающей
• строго возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1}
• убывающей (невозрастающей ) на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1}
• строго убывающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1} Ясно, что неубывающая функция может содержать участки строгого возрастания и интервалы, где функция является постоянной. Схематически это иллюстрируется на рисунках \(1-4\).

  Рис.1		Рис.2

  Рис.3		Рис.4

  Если функция \(f\left(x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left({a,b} \right)\) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

  Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки \({x_0}.\) В этом случае рассматривается малая \(\delta\)-окрестность \(\left({{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\) этой точки. Функция \(y = f\left(x \right)\) является строго возрастающей в точке \({x_0},\) если существует число \(\delta > 0,\) такое, что \[\forall\;x \in \left({{x_0} - \delta ,{x_0}} \right) \Rightarrow f\left(x \right) f\left({{x_0}} \right).\] Аналогичным образом определяется строгое убывание функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \({x_0}.\)

  Критерий возрастания и убывания функции

  Снова рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left({a,b} \right).\) Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.

  Теорема 1 .
  Для того, чтобы функция \(y = f\left(x \right)\) была возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале: \ Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале \(\left({a,b} \right):\) \ Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции.

  Необходимое условие .
  Рассмотрим произвольную точку \({x_0} \in \left({a,b} \right).\) Если функция \(y = f\left(x \right)\) возрастает на \(\left({a,b} \right),\) то по определению можно записать, что \[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x > {x_0} \Rightarrow f\left(x \right) > f\left({{x_0}} \right);\] \[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x
  Рассмотрим достаточное условие , т.е. обратное утверждение.
  Пусть производная \(f"\left(x \right)\) функции \(y = f\left(x \right)\) неотрицательна на интервале \(\left({a,b} \right):\) \ Если \({x_1}\) и \({x_2}\) − две произвольные точки данного интервала, такие, что \({x_1}теореме Лагранжа можно записать: \ где \(c \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right],\;\; \Rightarrow c \in \left({a,b} \right).\)

  Поскольку \(f"\left(c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, \ т.е. функция \(y = f\left(x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right).\)

  Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции.

  Теорема 2 .
  Для того, чтобы дифференцируемая на интервале \(\left({a,b} \right)\) функция была строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

  \(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left({a,b} \right);\)

  Производная \(f"\left(x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right] \in \left({a,b} \right).\)

  Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции \(f\left(x \right)\) тождественно равна нулю.

  На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:

  Если для всех \(x \in \left({a,b} \right)\) выполняется условие \(f"\left(x \right) > 0\) всюду в интервале \(\left({a,b} \right),\) кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых \(f"\left(x \right) = 0,\) то функция \(f\left(x \right)\) является строго возрастающей .

  Соответственно, условие \(f"\left(x \right) строго убывающую функцию.

  Число точек, в которых \(f"\left(x \right) = 0,\) является, как правило, конечным. Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left({a,b} \right).\)

  Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:

  Теорема 3 .
  Пусть \({x_0} \in \left({a,b} \right).\)

  Если \(f"\left({{x_0}} \right) > 0\), то функция \(f\left(x \right)\) строго возрастает в точке \({x_0}\);

  Если \(f"\left({{x_0}} \right)

  Свойства монотонных функций

  Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании функций. Перечислим некоторые из них: